Profe Seba Sistema de Ecuaciones Lineales
Unidad · Álgebra

Sistemas de
Ecuaciones Lineales

Métodos de resolución, tipos de solución y modelado con problemas del mundo real.

Sección 01

Conceptos fundamentales

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas incógnitas. Una solución del sistema es el par de valores \((x, y)\) que satisface todas las ecuaciones simultáneamente.

Forma general:

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]

Interpretación geométrica

Cada ecuación lineal en dos variables es una recta en el plano. Resolver el sistema equivale a encontrar el punto de intersección de esas rectas (si existe).

💡 Analogía: Pensá en dos caminos que se cruzan en un mapa. La solución del sistema es exactamente el cruce: el único punto que pertenece a los dos caminos a la vez.
Elvira
Elvira dice:Un sistema de ecuaciones es simplemente dos condiciones que \(x\) e \(y\) tienen que cumplir al mismo tiempo. La solución no es un número suelto, es un par \((x, y)\). Si encontrás un valor que satisface solo una de las dos ecuaciones, todavía no terminaste.
Sección 02

Los cuatro métodos

Método Idea clave Mejor cuando…
Sustitución Despejás una variable y la reemplazás en la otra ecuación. Una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1.
Igualación Despejás la misma variable en las dos ecuaciones e igualás. Ambas ecuaciones tienen la misma variable fácil de despejar.
Reducción (Gauss) Multiplicás ecuaciones para que los coeficientes de una variable se anulen al sumar. Coeficientes grandes o no hay variable fácil de despejar.
Cramer Usás determinantes 2×2 para calcular directamente cada variable. Sistema estándar, querés una fórmula directa.
Gema
Gema dice:¡Tip clave! Antes de elegir el método, fijate si alguna variable ya tiene coeficiente 1 o está casi despejada. Si \(y = \ldots\) aparece directamente, usá sustitución al toque. Si los coeficientes son feos, Reducción o Cramer te van a salvar.
Sección 03

Ejemplos paso a paso

Método de Sustitución

Resolver: \(\begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ -x + y = 3 \end{cases}\)

1

Despejar una variable

De la ecuación 2 despejo \(x\):

\(-x + y = 3\) \(-x = 3 - y\) \(x = y - 3\)
2

Sustituir en la otra ecuación

Reemplazo \(x = y - 3\) en la ecuación 1:

\(2(y-3) + 5y = 1\) \(2y - 6 + 5y = 1\) \(7y = 1 + 6\) \(7y = 7\) \(y = 1\)
3

Encontrar la variable restante

Con \(y = 1\): \(x = 1 - 3\) \(x = -2\)
4

Verificar

Eq. 1: \(2(-2) + 5(1) = -4 + 5 = 1\) ✓ Eq. 2: \(-(-2) + 1 = 2 + 1 = 3\) ✓
✅ Solución: \(x = -2,\ y = 1\) → par ordenado \((-2,\,1)\)
Gema
Gema dice:¿Cómo sé si despejé bien? Fácil: si cuando sustituís en la otra ecuación solo queda una incógnita, el despeje estuvo correcto. Si todavía te quedan dos variables, revisá el paso 1 antes de seguir.
Método de Igualación

Resolver: \(\begin{cases} 4x + y = -3 \\ -3x + y = 11 \end{cases}\)

1

Despejar \(y\) en ambas ecuaciones

Eq. 1: \(4x + y = -3\) \(y = -3 - 4x\) Eq. 2: \(-3x + y = 11\) \(y = 11 + 3x\)
2

Igualar las expresiones

\(-3 - 4x = 11 + 3x\) \(-4x - 3x = 11 + 3\) \(-7x = 14\) \(x = -2\)
3

Calcular \(y\)

\(y = -3 - 4(-2)\) \(y = -3 + 8\) \(y = 5\)
✅ Solución: \((-2,\,5)\)
Método de Reducción (Eliminación)

Resolver: \(\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\)

1

Multiplicar para igualar coeficientes

Multiplico la Eq. 2 por \(-2\):

\(-2 \cdot (4x - y = 0)\) \(-8x + 2y = 0\)
2

Sumar para eliminar \(y\)

\(3x - 2y = 1\) \(-8x + 2y = 0\) \((-5x) + (0) = 1\) \(-5x = 1\) \(x = -\dfrac{1}{5}\)
3

Sustituir para hallar \(y\)

En Eq. 2: \(4\!\left(-\tfrac{1}{5}\right) - y = 0\) \(-\tfrac{4}{5} - y = 0\) \(-y = \tfrac{4}{5}\) \(y = -\dfrac{4}{5}\)
✅ Solución: \(\left(-\dfrac{1}{5},\;-\dfrac{4}{5}\right)\)
Elvira
Elvira dice:En reducción, el secreto es que los coeficientes de la variable que querés eliminar sean iguales y opuestos. Si \(y\) aparece como \(+2y\) en una y \(-2y\) en la otra, al sumar se cancela solo. Si no son opuestos, multiplicá una (o ambas) ecuaciones para lograrlo.
Sección 04

Método de Cramer

Fórmulas

Para el sistema \(\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}\):

\[ \Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = ae - bd \] \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix}}{\Delta} \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}}{\Delta} \]

Regla mnemotécnica: Para \(\Delta_x\) reemplazás la columna de \(x\) por los términos independientes. Para \(\Delta_y\) la columna de \(y\).

Ejemplo con Cramer

Resolver: \(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

1

Calcular \(\Delta\)

\(\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\) \(= (2)(-1) - (1)(1)\) \(= -2 - 1\) \(\Delta = -3\)
2

Calcular \(\Delta_x\)

\(\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\) \(= (7)(-1) - (1)(1)\) \(= -7 - 1\) \(\Delta_x = -8\)
3

Calcular \(\Delta_y\)

\(\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\) \(= (2)(1) - (7)(1)\) \(= 2 - 7\) \(\Delta_y = -5\)
4

Resultado

\(x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{-8}{-3} = \dfrac{8}{3}\) \(x \approx 2{,}67\) \(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-5}{-3} = \dfrac{5}{3}\) \(y \approx 1{,}67\)
✅ Solución: \(\left(\dfrac{8}{3},\;\dfrac{5}{3}\right)\)
⚠️ Si \(\Delta = 0\), Cramer no funciona: el sistema no tiene solución única (puede ser sin solución o tener infinitas).
Gema
Gema dice:Cramer es genial porque vas directo a la respuesta con una fórmula, pero ojo: primero siempre calculá \(\Delta\). Si \(\Delta = 0\) antes de calcular \(\Delta_x\) y \(\Delta_y\), ya sabés que el sistema no tiene solución única y te ahorrás el resto del cálculo.
Sección 05

Modelado con problemas reales

Pasos para plantear un problema

  1. Identificar las incógnitas: ¿qué cosas no sé? Asignales letras: \(x\), \(y\).
  2. Leer las condiciones: cada condición del problema es una ecuación.
  3. Plantear el sistema: escribir las dos ecuaciones con las incógnitas.
  4. Resolver: elegir el método más conveniente y resolver.
  5. Interpretar: verificar que la solución tiene sentido en el contexto del problema.
Problema resuelto 1

Problema de edades

La suma de las edades de Ana y Luis es 38 años. Ana tiene 6 años más que Luis. ¿Cuántos años tiene cada uno?

1

Definir incógnitas

\(x =\) edad de Ana \(y =\) edad de Luis
2

Plantear el sistema

"La suma es 38": \(\quad x + y = 38\) "Ana tiene 6 más": \(\quad x = y + 6\)
3

Resolver por sustitución

Sustituyo \(x = y + 6\) en la primera: \((y + 6) + y = 38\) \(2y + 6 = 38\) \(2y = 32\) \(y = 16\) (Luis tiene 16 años) \(x = 16 + 6\) \(x = 22\) (Ana tiene 22 años)
✅ Ana tiene 22 años y Luis tiene 16 años. Verificación: \(22 + 16 = 38\) ✓ y \(22 - 16 = 6\) ✓
Problema resuelto 2

Parking: 39 vehículos, 126 ruedas. ¿Cuántos coches y motos?

1

Variables

\(c\) = número de coches (4 ruedas) · \(m\) = número de motos (2 ruedas)

2

Sistema

\[ \begin{cases} c + m = 39 \\ 4c + 2m = 126 \end{cases} \]
3

Reducción

Multiplico la Eq. 1 por \(-2\) y sumo:

\[ \begin{array}{r} 4c + 2m = 126 \\ -2c - 2m = -78 \\ \hline 2c = 48 \end{array} \]

\(c = 24 \implies m = 39 - 24 = 15\)

✅ Hay 24 coches y 15 motos.
Elvira
Elvira dice:En los problemas de modelado, el mayor error es armar mal las ecuaciones. Antes de resolver, leer dos veces el enunciado y verificar que cada ecuación represente exactamente una condición del problema. Si no podés traducir cada oración del enunciado a una ecuación, algo falta.
Sección 06

Errores típicos

❌ Sustituir sin despejar bien

Reemplazar la expresión incorrecta por no haber despejado del todo. Verificar siempre que la variable quede sola antes de sustituir.

❌ Olvidar distribuir el signo

Al sustituir \(x = y - 3\) en \(2x + 5\), escribir \(2y - 3 + 5\) en lugar de \(2(y-3) + 5 = 2y - 6 + 5\). El paréntesis es obligatorio.

❌ No verificar la solución

Dar por válido un par \((x, y)\) sin reemplazarlo en ambas ecuaciones originales. Un error de cálculo puede pasar desapercibido.

❌ Aplicar Cramer cuando \(\Delta = 0\)

Si el determinante principal es cero, Cramer no aplica. Hay que analizar si el sistema es incompatible o indeterminado.

❌ Confundir solución única con infinitas

Al llegar a \(0 = 0\) pensar que no hay solución. En realidad hay infinitas: las ecuaciones representan la misma recta.

❌ Errores de signo en reducción

Multiplicar por un número negativo y no distribuirlo a todos los términos de la ecuación. Revisar cada término al multiplicar.

Gema
Gema dice:Truco anti-error: después de resolver, siempre reemplazá \((x, y)\) en las DOS ecuaciones originales. No alcanza con verificar en la ecuación que usaste al final. ¡Los errores se esconden en los pasos intermedios!
Sección 07

Checklist de verificación

Elvira
Elvira dice:Este checklist no es opcional: es parte del proceso de resolución. En un examen, los puntos se pueden perder por un solo signo mal distribuido que pasó desapercibido. La verificación final tarda 30 segundos y puede salvarte el ejercicio entero.
Sección 08

¿Cómo sé qué tipo de solución tiene el sistema?

💡 Ahora que ya sabés los cuatro métodos, podés interpretar el resultado final. Cuando resolvés y llegás a algo inesperado, estas son las tres posibilidades:
✕

Solución única

Las rectas se cortan en un punto. Sistema compatible determinado.

Resultado: encontrás un \((x_0, y_0)\) concreto.

∥

Sin solución

Las rectas son paralelas. Sistema incompatible.

Llegás a \(0 = k\) (con \(k \neq 0\)). Absurdo.

≡

Infinitas soluciones

Las rectas coinciden. Sistema compatible indeterminado.

Llegás a \(0 = 0\). Las ecuaciones son equivalentes.

⚡ Si al resolver te aparece algo como \(0 = 5\) → sin solución.
Si aparece \(0 = 0\) → infinitas soluciones (las dos ecuaciones son la misma recta).

Guía rápida: ¿qué método uso?

  • Sustitución: si una variable está despejada o tiene coeficiente 1.
  • Igualación: si podés despejar la misma variable fácilmente en ambas ecuaciones.
  • Reducción: si los coeficientes son grandes o ninguna variable es fácil de despejar.
  • Cramer: cuando querés una fórmula directa y el sistema es 2×2 estándar.
Sección 09

Ejercicios de práctica

Sustitución · Nivel 1
\[\begin{cases} x = 2y + 1 \\ 3x - y = 5 \end{cases}\]

La primera ecuación ya tiene \(x\) despejada. ¡Usá eso a tu favor!

Solución: \(\left(\dfrac{9}{5},\;\dfrac{2}{5}\right)\)
Sustitución · Nivel 1
\[\begin{cases} y = x - 4 \\ 2x + y = 8 \end{cases}\]

Reemplazá directamente \(y\) en la segunda ecuación.

Solución: \((4,\;0)\)
Igualación · Nivel 2
\[\begin{cases} 2x - y = -4 \\ 6x + 5y = 12 \end{cases}\]

Despejá \(y\) en ambas e igualá las expresiones.

Solución: \(\left(-\dfrac{1}{2},\;3\right)\)
Reducción · Nivel 2
\[\begin{cases} 5x - 2y = 10 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases}\]

Los coeficientes de \(y\) ya son opuestos. ¡Sumá directamente!

Solución: \((2,\;0)\)
Cramer · Nivel 2
\[\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x + 4y = 10 \end{cases}\]

Calculá \(\Delta\), \(\Delta_x\) y \(\Delta_y\) con los determinantes 2×2.

Solución: \((2{,}8;\;1{,}8)\)
Problema · Nivel 3

En un test se puntúa 4 por correcta y se resta 1 por incorrecta. Un estudiante responde 17 preguntas y saca 43 puntos. ¿Cuántas acertó?

Acertó 12 preguntas.
Con fracciones · Nivel 3
\[\begin{cases} \dfrac{x+1}{3} - \dfrac{y-1}{2} = 1 \\ 7x - 4(x + y) = 4 \end{cases}\]

Primero eliminá las fracciones multiplicando por el mínimo común múltiplo.

Solución: \(\left(10,\;\dfrac{19}{3}\right)\)
Edades · Nivel 3

Hace 5 años, la edad de Sonia era el triple de la de Roberto, y dentro de 10 años será el doble. ¿Qué edad tiene cada uno hoy?

Sonia tiene 50 años y Roberto tiene 20 años.

📲 Compartí este apunte